54 = 625 を 24 で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式
54x – 24y = 1……①
の整数解のうち、 x が正の整数で最小になるのは
x = ア , y = イウ
であることがわかる。
また、①の整数解のうち、 x が2桁の正の整数で最小になるのは
x = エオ , y = カキク
である。
(2) 次に、 6252 を 55 で割ったときの余りと、 25 で割ったときの余りについて考えてみよう。まず
6252 = 5ケ
であり、また m = イウ とすると
6252 = 2ケm2 + 2コm + 1
である。これらより、 6252 を 55 で割ったときの余りと、 25 で割ったときの余りがわかる。
(3) (2)の考察は不定方程式
55x – 25y = 1……②
の整数解を調べるために利用できる。
x , y を②の整数解とする。 55x は 55 の倍数であり、 25 で割ったときの余りは1となる。よって、(2)により、 55x – 6252 は 55 でも 25 でも割り切れる。 55 と 25 は互いに素なので、 55x – 6252 は 55・25 の倍数である。
このことから②の整数解のうち x が3桁の正の整数で最小になるのは
x = サシス , y = セソタチツ
であることがわかる。
(4) 114 を 24 で割ったときの余りは1に等しい。不定方程式
115x – 25y = 1
の整数解のうち、 x が正の整数で最小になるのは
x = テト , y = ナニヌネノ
である。
解答
アイウ
「54 = 625 を 24 で割った余りが 1 」であることから、
54 – 24a = 1
が成り立つ。これは実際に計算できて、 a = 39 となるので、
54・1 – 24・39 = 1……①’
となる。よって x = 1 , y = 39 である。
エオカキク
① – ①’ より、
54 ( x – 1 ) = 24 ( y – 39 )……①”
であり、 54 と 24 は互いに素だから、 x – 1 は 24 の倍数となるので、
x – 1 = 24k
である。これを満たす x が正の整数で最小になるのは、 k = 1 のとき x = 17 である。これを①”に代入して、 y = 664 である。
ケ
6252 = (54)2 = 58
コ
①’より
54 = 24m + 1
となり、これを両辺2乗すると、
(6252 = ) 58 = 28m2 + 2・24m + 1
= 28m2 + 25m + 1
となる。
サシスセソタチツ
問題文をよく読むのは次の設問でよい。ここでは問題文にある通り、「 55x – 6252 は 55・25 の倍数である」ことから、 m を整数として、
55x – 58 = 55・25k
が成り立つ。両辺 55 で割ると、
x – 125 = 32m
となる。
ここで、 x ができるだけ小さい3桁の正の整数となる m を探すと、（ m = -1 のときは x = 93 で不適なので、） m = 0 のとき、 x = 125 が求める解答である。これを②に代入して、
y = 390625 – 132 = 12207
テトナニヌネノ
ノーヒントだからこそ、これまでの流れを適応して解く。
（(1)の前半の流れより、）問題文より、
114 – 24b = 1
が成り立ち、これを計算して解くと b = 915 であるから、
114・1 – 24・915 = 1
が成り立つ。
（(2)の流れ）
今の式を、
114 = 24・915 + 1
として両辺2乗すると、
118 = 28・9152 + 25・915 + 1
であるから、「 118 を 115 で割った余りは 0 、 25 で割った余りは 1 」である。
（(3)の流れ）
いま、整数 x , y が
115x – 25 y = 1……③
を満たすとすると、「 115x を 115 で割った余りは 0 、 25 で割った余りは 1 」であるとわかる。
これら2つの「 」の内容から、
115x – 118 は 115 でも 25 でも割り切れる
といえる。よって、n を整数として、
115x – 118 = 115・25n
が成り立つ。両辺 115 で割って、
x – 113 = 25n
x – 1331 = 32n
x = 32n + 1331
である。 x が正の整数で最小となるのは、 n = -41 のとき、 x = 19 である。これを③に代入して、
y = 115・19 – 132 = 95624
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