3つ子素数は 3 , 5 , 7 のみである証明 ［2004 早稲田大・政経］

問題

n を自然数とする。 n, n + 2, n + 4 がすべて素数であるのは n = 3 の場合だけであることを示せ。

イズミの解答への道

　具体的な手法が思い付かないときは『実験する』が鉄則。今回もそれに則って、本当に n = 3 の場合のみなのかを調べてみよう。

　明らかに偶数ではまずいから、奇数のみ調べる。すると、

• n = 5 だと、5 , 7 , 9 　→　 9 は 3 で割り切れる
  
• 9 がない 3 つにするためには、次は n = 11 である。
  
• n = 11 だと、 11 , 13 , 15 　→　 15 は 3 で割り切れる。
  
• 同様に次は 17 から始まる 17 , 19 , 21 は 21 がまずい。
  
• 23 , 25 , 27 では、もちろん 25 も悪いが、 27 はまたまた 3 で割り切れる。

解答

　n , n + 2 , n + 4 のいずれかは 3 の倍数である。
　なぜなら、 n , n + 1 , n + 2 のいずれかは 3 の倍数であり、 n + 1 と n + 4 は 3 で割った余りが等しいからである。
　素数で 3 の倍数であるものは 3 のみだから、候補は 1 , 3 , 5 か 3 , 5 , 7 となる。ここで、 1 は素数ではないから、 3 , 5 , 7 でしかない。
　つまり、 n = 3 のときだけ、 n, n + 2, n + 4 がすべて素数となる。

研究

素数について

　この問題で証明された事実「 3 つ子素数は 3 , 5 , 7 のみである」は非常に有名な性質である。以下の研究では、素数についての興味深い問題、未解決問題をいくつか紹介しよう。

双子素数

　双子素数とは、 p , p + 2 がどちらも素数であるような組のことで、小さい方から例を挙げると ( 3 , 5 ) , ( 5 , 7 ) , ( 11 , 13 ) などが上げられる。
　「双子素数が無限にあるかどうか」は、未だに解決されていない問題である。

素数砂漠

　逆に、素数が連続して現れないところを素数砂漠とでも呼ぼう（この呼び方は、小島寛之著『数学オリンピック問題にみる現代数学』（講談社ブルーバックス）p.21に倣った）。例えば、 114 から 126 の間の 13 個の数はいずれも素数でなく、もう少し大きいところでは、 1130 から 1150 の 21 個の数の間にも素数が現れない。
　気になることは、「いくらでも広い素数砂漠は存在するのか？」である。この問題の答えはYES!である。

　このことを、実際に好きな長さの素数砂漠を作り出すことで証明してみよう。
　例えば k + 1 , k + 2 , … , k + 1000 といった 1000 個の数がすべて素数でない素数砂漠は、次のように作る。
　ポイントは 1001! を利用することである。この数は、 1 から 1001 までのすべての数を掛け合わせた数で、言い換えれば 1 から 1001 のいずれの数でも割り切ることできる。すると、例えば、
　1001! + 2 は 2 の倍数
　1001! + 3 は 3 の倍数
　　　　　　：
　1001! + 1001 は 1001 の倍数
となり、1001! + 2 から 1001! + 1001 までの 1000 個の数はいずれも素数でない数となり、連続する1000個の数字が素数でない素数砂漠を作り出すことができた。