n回目に4色目が出る確率［2021 京都大・理］

イズミの解答への道

　n – 1 回目までに3種類の玉を最低1度は引いている状況が何通りあるか、を求めれられるかがポイントである。

解答

　n – 1 回目までに白、青、黄の3種類をすべて記録し、n回目に赤玉を引いて記録することを考えればよい。

　白、青、黄の3種類の玉のいずれかを n – 1 回引く場合の数は、 3^n-1 通りある。
　ここから、1色のみまたは2色のみで構成される場合の数を除く。

• 1色が出続ける場合の数は色違いを考えて 3 通り
  
• 2色が出続ける場合の数は、
  ①どの2色を選ぶか：₃C₂ = 3通り
  ②2色が n – 1 回出る回数から、1色だけになる場合の数を除いて、 2^n-1 – 2
  より、 3 ( 2^n-1-2 )

であるので、求める場合の数は、
　　3^n-1 – 3 – 3 ( 2^n-1 – 2 ) = 3^n-1 – 3・2^n-1 + 3
である。
　よって、n – 1 回目までに白、青、黄の3種類の玉を少なくとも1回以上引く確率は、
　　3^n-1 – 3・2^n-1 + 34^n-1
となり、 n 回目に赤玉を引く確率が 1/4 なので、求める確率は
　　3^n-1 – 3・2^n-1 + 34ⁿ

解説

類題

　受験までに必ず一度は練習問題として解いておきたいいわゆる「必須」の一題。「n回までに3種類がすべて出る」のパターンは、京大の受験生でなくとも、必ず一度は解いておきたい問題である。
　2007年の神戸大に同様の出題がある。