2022年共通テスト数学IIB 第1問[2]

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　a , b は正の実数であり、 a ≠ 1 , b ≠ 1 を満たすとする。太郎さんは log_a b と
log_b a の大小関係を調べることにした。

(1)　太郎さんは次のような考察をした。

　まず、 log₃ 9 = 　ス　 , log₉ 3 = 1　ス　である。この場合
　　 log₃ 9 > log₉ 3
が成り立つ。
　一方、 log₁₄ 　セ　 = – 32 , log_セ 14 = – 23 である。この場合
　　log₁₄ 　セ　 < log_セ 14
が成り立つ。

(2)　ここで
　　log_a b = t……①
とおく。
　(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、それが正しいことを確かめることにした。
　　log_b a = 1t……②
　①により、　ソ　である。このことにより　タ　が得られ、②が成り立つことが確かめられる。

　ソ　の解答群

⓪　a^b = t　　①　a^t = b　　②　b^a = t
③　b^t = a　　④　t^a = b　　⑤　t^b = a

　タ　の解答群

⓪　a = t^1b　　①　a = b^1t　　②　b = t^1a
③　b = a^1t　　④　t = b^1a　　⑤　t = a^1b

(3)　次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして
　　t > 1t……③
を満たす実数 t ( t ≠ 0 ) の値の範囲を求めた。

太郎さんの考察

　t > 0 ならば、③の両辺に t を掛けることにより、 t² > 1 を得る。このような t ( t > 0 ) の値の範囲は 1 < t である。
　t < 0 ならば、③の両辺に t を掛けることにより、 t² < 1 を得る。このような t ( t < 0 ) の値の範囲は -1 < t < 0 である。

　この考察により③を満たす値の範囲は t ( t ≠ 0 ) の値の範囲は
　　-1 < t < 0 , 1 < t
であることがわかる。
　ここで a の値を一つ定めたとき、不等式
　　log_a b > log_b a……④
を満たす実数 b ( b > 0 , b ≠ 1 ) の値の範囲について考える。
　④を満たす b の値の範囲は a > 1 のときは　チ　であり、 0 < a < 1 のときは　ツ　である。

　チ　の解答群

⓪　0 < b < 1a , 1 < b < a　　①　0 < b < 1a , a < b
②　1a < b < 1 , 1 < b < a　　③　1a < b < 1 , a < b

　ツ　の解答群

⓪　0 < b < a , 1 < b < 1a　　①　0 < b < a , 1a < b
②　a < b < 1 , 1 < b < 1a　　③　a < b < 1 , 1a < b

(4)　p = 1213 , q = 1211 , r = 1413 とする。
　次の⓪～③のうち、正しいものは　テ　である。

　テ　の解答群

⓪　log_p q > log_q p かつ log_p r > log_r p
①　log_p q > log_q p かつ log_p r < log_r p
②　log_p q < log_q p かつ log_p r > log_r p
③　log_p q < log_q p かつ log_p r < log_r p

解答

ス

　定義通りで、
　　log₃ 9 = 2

セ

$\log_{\frac{1}{4}} x = -\frac{3}{2}$

のとき、

$x = \left( \frac{1}{4} \right)^{-\frac{3}{2}} = \bm{8}$

である。

ソタ

　①を指数関数で表すと、①　a^t = b である。
　両辺を 1/t 乗して、①　a = b^1/t である。

チツ

　問題文より、 t > 1/t の解は、 -1 < t < 0 , 1 < t である。
　いま、 log_ab = t とおくと、方程式④の解は
　　-1 < log_ab < 0 , 1 < log_ab
となる。この不等式を解くために、底を揃えると、
　　log_a a^-1 < log_ab < log_a1 , log_aa < log_ab
となる。

　対数を取るときには底に気をつける。
　a > 1 であれば、不等号の向きは変わらず、
　　 a^-1 < b < 1 , ( 1 < ) a < b
となる。選択肢では、③　1a < b < 1 , a < b　である。

　0 ≪ a < 1 のときは、不等号の向きが逆になり、
　　1 < b < a^-1 , ( 0 <) b < a ( < 1 )
となる。選択肢では ⓪　0 < b < a , 1 < b < 1a である。

テ

　よい説明は検討中。答えは②。（すみません。）