2017年センター数学IA 第1問[3]

2017年センター数学IIB
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　a を定数とし、 g ( x ) = x² – 2 ( 3a² + 5a ) x + 18a⁴ + 30a³ + 49a² + 16 とおく。2次関数 y = g ( x ) のグラフの頂点は
　　( 　セ　 a² + 　ソ　 a , 　タ　 a⁴ + 　チツ　 a² + 　テト　 )
である。
　a が実数全体を動くとき、頂点の x 座標の最小値は – 　ナニ　　ヌネ　である。
　次に、 t = a² とおくと、頂点の y 座標は
　　　タ　 t² + 　チツ　 t + 　テト　
と表せる。したがって、 a が実数全体を動く時、頂点の y 座標の最小値は　ノハ　である。

解答

セソタチツテト

　与えられた式を平方完成すると、
　　g ( x )
　　= { x – ( 3a² + 5a ) }² – ( 3a² + 5a )² + 18a⁴ + 30a³ + 49a² + 16
　　= { x – ( 3a² + 5a ) }² + 9a⁴ + 24a² + 16
であるから、頂点の座標は、
　　( 3a² + 5a , 9a⁴ + 24a² + 16 )

ナニヌネ

　実数 a に対して、3a² + 5a の最小値を求めれば良い。平方完成して、

$3a^2 + 5a = 3 \left( a + \frac{5}{6} \right)^2 - \frac{25}{12}$

となるから、最小値は（ a = -5/6 のとき） $\displaystyle \bm{\frac{25}{12}}$ である。

ノハ

　求めるのは、 9t² + 24t + 16 の ( a² = ) t ≧ 0 の範囲における最小値である。

$9t^2 + 24t + 16 = 9 \left( t + \frac{4}{3} \right)^2$

であるから、求める最小値は t = 0 のとき 16 となる。