(1) 不定方程式
92x + 197y = 1
をみたす整数 x , y の組の中で、 x の絶対値が最小のものは
x = アイ , y = ウエ
である。不定方程式
92x + 197y = 10
をみたす整数 x , y の組の中で、 x の絶対値が最小のものは
x = オカキ , y = クケ
である。
(2) 2進法で 11011(2) と表される数を 4 進法で表すと、 コサシ (4) である。
次の ⓪～⑤ の6進法の小数のうち、10進法で表すと有限小数として表せるのは、
ス 、 セ 、 ソ である。ただし、解答の順序は問わない。
⓪ 0.3(6) ① 0.4(6) ② 0.33(6)
③ 0.43(6) ④ 0.033(6) ⑤ 0.043(6)
解答
アイウエ
係数197と92でユークリッドの互除法を行う。
197 ÷ 92 = 2 あまり 13 すなわち 13 = 197 – 2 × 92
92 ÷ 13 = 7 あまり 1 すなわち 1 = 92 – 7 × 13
13 ÷ 1 = 13
より、さかのぼるように式を利用して、 1 = の式を作る。
1 = 92 – 7 × (197 – 2 × 92)
= 92 – 197 × 7 + 14 × 92
= 92 × 15 – 197 × 7
となり、これより一目瞭然で x = 15 , y = -7 が一つの特殊解となることが分かる。
よって、
92・15 + 197・( -7 ) = 1
なので問題の式と辺々引いて、
92 ( x – 15 ) + 197 ( y + 7 ) = 0
が成り立つ。いま、 92 と 197 は互いに素だから、
x – 15 = 197n
y + 7 = -92n
とおける。すなわち、
x = 15 + 197n , y = -7 – 92n （ n は整数 ）
が一般解。 x の絶対値が最も小さいのは n = 0 のときで、 x = 15 , y = -7 である。
オカキクケ
つぎに、 92x + 197y = 10 の特殊解は、先ほどの結果より、
x = 150 , y = -70
となるので、先程と同様に、
92 ( x – 150 ) + 197 ( y + 70 ) = 0
が成り立つ。よって、一般解は、
x = 150 + 197m , y = -70 – 92m （ m は整数）
となる。
x の絶対値が最小となるのは、 m = -1 のときで、このとき、
x = -47 , y = 22
となる。
コサシ
2進法を10進法で表すと、
11011(2)
= 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20
= 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27
となる。つぎに10進数を4進数になおして、
27 = 1 × 42 + 2 × 41 + 3 × 40
であるから、答えは 123(4) である。
スセソ
6進法の 0.abc は、10進法で表すと、
0.abc(6) = a × 6-1 + b × 6-2 + c × 6-3
である。それぞれを確認すると、
⓪は、
![\[ 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 \]](https://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-293423fd77fce9a39b0f588a7026161f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
より有限小数となり、題意を満たす。
①は、
![\[ 4 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3} = 0. \dot{6} \]](https://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dfdd987563b87162f887a4e7bceefb34_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
より無限小数。
②は、
![\[ 3 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6^2} = \frac{7}{12} = 0.58 \dot{3} \]](https://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0d4aceee9e2f70917182956c03decf25_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
より無限小数。
③は、
![\[ 4 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6^2} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75 \]](https://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a78c2c5d7ddbe9320112444acfc2a258_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
より有限小数となり、題意を満たす。
④は、
![\[ 0 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6^2} + 3 \times \frac{1}{6^3} = \frac{21}{216} = \frac{21}{216} = 0.097 \dot{2} \]](https://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9597f74abedf33e8beb2746be01b3a08_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
より無限小数。
⑤は、
![\[ 0 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6^2} + 3 \times \frac{1}{6^3} = \frac{27}{216} = \frac{1}{8} = 0.125 \]](https://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d509412342b87fe2e727af010c73529a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
より有限小数となり、題意を満たす。
以上より、答えは、⓪、③、⑤。
コメント
コサシは4進数で答える問いですよ
ご指摘ありがとうございます。間違えておりました。
解答を修正しました。