2015年センター数学IA 第5問

数学IA講評　第1問　第2問[1]　第2問[2]　第3問　第4問　第5問　第6問　PDF版

第5問

　以下では、a = 756 とし、 m は自然数とする。

(1)　a を素因数分解すると、
　　a = 2^ア・3^イ・　ウ　
である。
　a の正の約数の個数は　エオ　個である。

(2)　 $\sqrt{am}$ が自然数となる最小の自然数 m は　カキ　である。 $\sqrt{am}$ が自然数となるとき、 m はある自然数 k により m = 　カキ　 k² と表される数であり、そのときの $\sqrt{am}$ の値は　クケコ　 k である。

(3)　次に、自然数 k により　クケコ　 k と表わされる数で、 11 で割った余りが 1 となる最小の k を求める。1次不定方程式
　　　クケコ　 k – 11 l = 1
と解くと、 $k>0$ となる整数解 ( k , l ) のうち k が最小のものは
　　k = 　サ　 , l = 　シスセ　
である。

(4)　 $\sqrt{11}$ が 11 で割ると 1 余る自然数となるとき、そのような自然数 m のなかで最小のものは　ソタチツ　である。

解答

アイウエオ

　756 を 2 で割れるだけ割り、割れなくなったら 3 で割れるだけ割る。このように因数分解して、
　　a = 2²・3³・7
となる。

【約数の個数と和】
　自然数 N が N = p^aq^b…r^c と因数分解できるとき、約数の個数は、
　　( a + 1 ) ( b + 1 ) … ( c + 1 )個
であり、その約数の総和は、
　　( 1 + p + … + p^a ) ( 1 + q + … + q^b ) … ( 1 + r + … + r^c )
となる。

約数の個数は公式より、
　　( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 24個である

カキ

　いま、 $\sqrt{a}$ は

$\sqrt{a} = 2 \cdot 3 \sqrt{3 \cdot 7}$

であるから、 $\sqrt{m}=\sqrt{21}$ をかければ、 $\sqrt{am}$ は自然数となる。よって、最小の m = 21 である。

カキクケコ

　この設問はよくわかりづらいが、ここでは問題文にある通りにとけばよい。実はあとで使用するのである。
　m = 21k² と表わされる数だとすれば、

$\sqrt{am} = 6 \sqrt{21} \times \sqrt{21k^2} = \bm{126}k$

となる。
　ここで、 m = 21k² は $\sqrt{am}$ が整数になる条件である。

サシスセ

　与えられた不定方程式
　　126k – 11l = 1
を解く。この手の不定方程式は特殊解を見つける必要があるが、簡単には見つからないので強引に作りに行く。
　　126・1 – 11・11 = 5　…(a)
だから、
　　5×126k – 5×11l = 5　…(b)
と置いて、(b) – (a) をすると、
　　126 ( 5k – 1 ) – 11 ( 5l – 11 ) = 0　…(c)
が成り立つ。126と11は互いに素であるから、
　　5k – 1 と 11 が共通因数を持つような k を求めればよい。最も小さい k は k = 9 のとき 5k – 1 = 44 となり、11と共通因数をもつ。
　k = 9 とすると、(c)式より、
　　126 × 44 – 11 ( 5l – 11 ) = 0
を満たす l は、
　　5l – 11 = 126×4
であるから、 l = 103 となり、これは元の不等式を満たす。よって、 k が最も小さい解は、 k = 9 , l = 103 である。

＜別解＞
　解答の形から、kは一桁と分かっているので、小さい方から k に整数を当てはめて考える。

k = 1 のとき、 126 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
k = 2 のとき、 252 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
k = 3 のとき、 378 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
k = 4 のとき、 504 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
k = 5 のとき、 630 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
k = 6 のとき、 756 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
k = 7 のとき、 882 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
k = 8 のとき、 1008 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
k = 9 のとき、 1134 – 11l = 1 を満たす整数 l は、l =103 である。

　以上より、求める k = 9 , l = 103 と分かる。

ソタチツ

　クケコの設問により、 $\sqrt{am}$ が整数となるためには、m = 21k² が必要であった。よって、いま m = 21k² とおく。
　この前提で、同様に 11 で割った時に 1 余るという条件から式を立てると、

$\sqrt{am} - 11l = 1$

となり、 m = 21k² より、 $\sqrt{am} = 126k$ であるから、
　　126k – 11l = 1
となる。
　この不定方程式の解のうち、 k が最も小さくなるものは k = 9 であったから、題意を満たす m は、
　　m = 21k² = 21×9² = 1701
である。