2015年センター数学IIB 第4問

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第4問

解答

アイウ

　すべての辺の長さが 1 で、∠AOC = 120°のようなひし形を考えると、
　　∠AOB = 60°, OB = 1（すなわち、△OAB、△BOCは辺の長さが 1 の正三角形）
である。
　点Pは線分 AB を 2 : 1 に内分する点であるから、

$\begin{align*} \overrightarrow{\text{OP}} &= \frac{1}{3} \overrightarrow{\text{OA}} + \frac{2}{3} \overrightarrow{\text{OB}} \\ &= \bm{\frac{1}{3}} \overrightarrow{a} + \frac{\bm{2}}{3} \overrightarrow{b} \end{align*}$

である。

エ

いま、

$\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{\text{OB}} - \overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$

だから、

$\begin{align*} \overrightarrow{\text{OQ}} &= (1-t) \overrightarrow{b} + t ( \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) \\ &=\bm{-t} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \end{align*}$

である。

オカキ

　いま、

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = | \overrightarrow{a} ||\overrightarrow{b}| \cos 60^{\circ} = \bm{\frac{1}{2}}$

であり、OPとOQは直角に交わることより

$\overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{OQ}} = \bm{0}$

である。

クケ

　いま、

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = | \overrightarrow{a} ||\overrightarrow{b}| \cos 60^{\circ} = \bm{\frac{1}{2}}$

であり、OPとOQは直角に交わることより

$\overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{OQ}} = \bm{0}$

である。

　 $\overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{OQ}} = \bm{0}$ より、

$\begin{align*} &\left( \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b} \right) \cdot ( -t \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ) = 0 \\ &-\frac{1}{3} t | \overrightarrow{a}|^2 + \frac{2}{3} |\overrightarrow{b}|^2 + \frac{1}{3} ( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} ) - \frac{2}{3} t ( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} ) = 0 \\ &-\frac{1}{3}t + \frac{2}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3}t = 0 \\ &\frac{5}{6} - \frac{2}{3}t = 0 \end{align*}$

をといて、 $\displaystyle t = \bm{\frac{5}{4}}$ である。

コサシスセソタチツ

　いま、

$| \overrightarrow{\text{OP}} |^2 = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =\frac{7}{9}$

より、 $\displaystyle | \overrightarrow{\text{OP}} | = \bm{ \frac{\sqrt{7}}{3}}$ であり、

$| \overrightarrow{\text{OQ}} |^2 = \frac{25}{16} + 1 - \frac{5}{2} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =\frac{21}{16}$

より、 $\displaystyle | \overrightarrow{\text{OQ}} | = \bm{ \frac{\sqrt{21}}{4}}$ である。
　これらより求める面積は、

$S_1 = \frac{1}{2} | \overrightarrow{\text{OP}} | | \overrightarrow{\text{OQ}} | = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{4} = \bm{\frac{7\sqrt{3}}{24}}$

である。

テトナニ

　誘導に乗って、問題文に与えられた通り、

$r \overrightarrow{\text{OR}} = (1 -s ) \overrightarrow{\text{OP}} + s \overrightarrow{\text{OQ}}$

にそれぞれ代入すると、

$r \left( \frac{3}{4} \overrightarrow{b} + \frac{1}{4} (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = (1-s) \left( \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b} \right) + s \left( -\frac{5}{4} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)$

となる。ここで、 $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は一次独立だから、 $\overrightarrow{a}$ の係数、 $\overrightarrow{b}$ の係数がそれぞれ等しくならなければならないので、

$\begin{cases} -\frac{1}{4} r = \frac{1}{3} (1-s) - \frac{5}{4}s \\ r = \frac{2}{3} (1-s) + s \end{cases}$

を解いて、

$r = \bm{\frac{7}{9}} , s = \bm{\frac{1}{3}}$

となる。

ヌネノハヒフ

　今得られた r , s を代入して、

$\begin{align*} \overrightarrow{\text{OT}} &= r \overrightarrow{\text{OR}} \\ &= \frac{7}{9} \left(- \frac{1}{4} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) \\ &= \bm{- \frac{7}{36} }\overrightarrow{a} +\bm{ \frac{7}{9}} \overrightarrow{b} \end{align*}$

である。

ヘホ

　最後に、r, s の値から、 OT : TR = 7 : 2 , PT : TQ = 1 : 2 であることから、
　　△PTO : △PRT = 7 : 2,
　　△PTO : △QTO = 1 : 2
であるから、
　　△PQO : △PRT = 7×(1+2) : 2 = 21 : 2
である。