△ABCにおいて、辺BCを 7 : 1 に内分する点を D とし、辺ACを 7 : 1 に内分する点を E とする。線分 AD と線分 BE の交点を F とし、直線CFと辺ABの交点を G とすると
GBAG = ア , FDAF = イ ウ , FCGF = エ オ
である。したがって、
△CDGの面積△BFGの面積 = カ キク
となる。
4点 B , D , F , G が同一円周上にあり、かつ FD = 1 のとき
AB = ケコ
である。さらに、AE = 3√7 とするとき、 AE・AC = サシ であり、
∠AEG = ス
である。 ス に当てはまるものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。
⓪ ∠BGE ① ∠ADB ② ∠ABC ③ ∠BAD
解答
アイウエオ
チェバの定理より、
GBAG・DCBD・EACE = 1
GBAG・17・71 = 1
∴ GBAG = 1
メネラウスの定理より、
FDAF・CBDC・GABG = 1
FDAF・81・11 = 1
∴ FDAF = 18
同じくメネラウスの定理より、
FCGF・DBCD・AGBA = 1
FCGF・71・12 = 1
∴ FCGF = 27
カキク
△GBCを基準に、辺の比を使ってそれぞれの面積を求めると、
△BFG = △GBC × 79
△CDG = △GBC × 18
であるから、
△CDG△BFG = 1/87/9 = 956
ケコ
AF ： FD = 8 : 1 であることから、 FD = 1 であれば AF = 8 である。
ここで AG = x とおくと、方べきの定理より
AG・AB = AF・AD
m・2m = 8・9
より、 m = 6 すなわち、
AB = 2m = 12
である。
サシ
AE : EC = 7 : 1 であるから、 AE = 3√7 であれば、
EC = 37√7
となるので、
AE・AC = 3√7 × 247√7 = 72
である。
ス
先の結果から、
AE・EC = AG・AB
となるので、方べきの定理の逆より G , B , C , E は同一円周上にある。よって、
∠AEG = ∠ABC
となる。よって ② が正解。
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