2021年共通テスト数学IIB 第2問

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解答

アイウ

　y切片は①、②の定数項となるので、 3 である。
　①、②を x で微分し、 x = 0 を代入すると、いずれも 2 （1次の項の係数）となる。これが x = 0 における接線の傾きになるので、求める接線の方程式は、
　　y = 2x + 3
となる。

エ

　x = 0 における接線の方程式が y = 2x + 3 となるのは、もとの2次関数について、1次の項が2で、定数項が3のものである。条件を満たすのは ④ である。

オカキ

　これまでの計算の仕方と同様に計算すれば良い。x = 0 のとき y = c であるから、曲線上の点 ( 0 , c ) における接線の方程式を求めることを考えており、その方程式は、
　　y = bx + c
となる。

クケコ

　y = bx + c = 0 を解いて、 x = -cb である。

サシス

$\begin{align*} S &= \int_{-c/b}^0 (ax^2+bx+c) dx - \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b} \cdot c \\ &=\left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_{-c/b}^0 - \frac{c^2}{2b} \\ &=\frac{a}{3}\left( \frac{c}{b}\right)^3 - \frac{b}{2}\left( \frac{c}{b}\right)^2 + c\left( \frac{c}{b}\right) - \frac{c^2}{2b} \\ &=\frac{ac^\bm{3}}{\bm{3}b^\bm{3}} \end{align*}$

である。

セ

　a = 1 のとき、k を定数として、
　S = c³3b³ = k
すなわち、
　　c³ = 3k b³
　　c = k’b　（ $k' =\sqrt[3]{3k}$ ）
であるから、c は b に比例するといえる。それを表しているグラフは ⓪ である。

ソタチツテト

　y軸との交点は、 x = 0 を代入して、 y = 5 である。
　x = 0 のときの接線の方程式は、 3x + 5 になる。

　これを一般化して、( 0 , d ) における接線の方程式は、 y = cx + d となる。

記述式の試験であればこのような解答ではだめでしょうが、今回の共通テストでは過去の問題の類推して解くことを要求されているので、逆にこのように解くことができるということを確認してもらいたい。

ナ

　概形を求める関数は、
　　h ( x ) = f ( x ) – g ( x )
　　　　　　= ax³ + bx²
　　h'( x ) = 3ax² + 2bx = 0
より、極値は x = 0 , -2b3a でとる。
　増減表を書くなどしてグラフを描くと、その概形は ② である。

ニヌネノ

　y = f ( x ) , y = g ( x ) のグラフの交点は、 f ( x ) = g ( x ) の解、すなわち、方程式 h ( x ) = 0 の解である。
　　h ( x ) = x² ( ax + b ) = 0
を解いて、 x = 0 , -ba である。

ハヒフヘホ

　-ba ≦ x ≦ 0 の範囲で h ( x ) が最大となる x を求めればよく、それは h ( x ) のグラフの概形を考えて、極大値を取るときである。よって、 x = -2b3a のときである。