座標平面上に点A ( -8, 0 ) をとる。また、不等式
x2 + y2 – 4x – 10y + 4 ≦ 0
の表す領域を D とする。
(1) 領域Dは、中心が点 ( ア , イ ) 、 半径が ウ の円の エ である。
エ の解答群
⓪ 周 ① 内部 ② 外部
③ 周および内部 ④ 周および外部
以下、点 ( ア , イ ) を Q とし、方程式
x2 + y2 – 4x – 10y + 4 = 0
の表す図形を C とする。
(2) 点Aを通る直線と領域 D が共有点を持つのはどのようなときかを考えよう。
(i) (1)により、直線 y = オ は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。点Aを通り、傾きがkの接線をlとする。
太郎：直線lの方程式は y = k ( x + 8 ) と表すことができるから、これを
x2 + y2 – 4x – 10y + 4 = 0
に代入することで接線が求められそうだね。
花子： x 軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。
(ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。 y = k ( x + 8 ) を x2 + y2 – 4x – 10y + 4 = 0 に代入すると、 x についての2次方程式が得られる。この方程式が カ のときの k の値が接線の傾きとなる。
カ の解答群
⓪ 重解を持つ
① 異なる二つの実数解を持ち、一つは0である
② 異なる二つの正の実数解を持つ
③ 正の実数解と負の実数解を持つ
④ 異なる二つの負の実数解を持つ
⑤ 異なる二つの虚数解を持つ
(iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。 x 軸と直線AQのなす角をθ ( 0 < θ ≦ π2 ) とすると、
tan θ = キ ク
であり、直線 y = オ と異なる接線の傾きは tan ケ と表すことができる。
ケ の解答群
⓪ θ ① 2θ ② ( θ + π2 )
③ ( θ – π2 ) ④ ( θ + π ) ⑤ ( θ – π )
⑥ ( 2θ + π2 ) ⑦ ( 2θ – π2 )
(iv) 点Aを通るCの接線のうち、直線 y = オ と異なる接線の傾きを k0 とする。このとき、(ii)または(iii)の考え方を用いることにより
k0 = コ サ
であることがわかる。
直線 l と領域D が共有点を持つような k の値の範囲は シ である。
シ の解答群
⓪ k > k0 ① k ≧ k0
② k < k0 ③ k ≦ k0
④ 0 < k < k0 ⑤ 0 ≦ k ≦ k0
解答
アイウエ
与えられた不等式は、
( x – 2 )2 + ( y – 5 )2 ≦ 25
と変形できるから、領域Dは、
中心 ( 2 , 5 ) 、半径が 5 の円の③ 周および内部
である。
オ
図を書いて考える。y = 0 は明らかに、点Aを通るCの接線の一つである。
カ
円と直線が接するのは、円の方程式と直線の式を連立した方程式の解が重解であるということ。
よって、⓪ 重解をもつとき k の値が接線の傾きとなる。
キク
これも図を書いて考える。
tanθ = 510 = 12
である。
ケ
求めたいy = 0 と異なる接線の傾きは、θの2倍であるから、① 2θである。
コサ
問題文にある通り、(ii)または(iii)の考え方で解けば良い。(ii)の方程式が重解を持つ条件を計算するより、(iii)で tan2θ を求めたほうが早い。実際、
k0 = tan2θ = 2tanθ1 – tan2θ = 11 – 14 = 43
である。
ケ
共有点が持つということは、傾きが ⑤ 0 ≦ k ≦ k0 であればよい。
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