問題
空間内に四面体ABCDを考える。このとき、4つの頂点 A , B , C , D を同時に通る球面が存在することを示せ。
イズミの解答への道
四面体にも内心、外心が存在します。今回は外心の存在を示します。
解答
各頂点を通る球の中心を P とする。
辺ABの中点を通り、ABに垂直な平面αを考える。αは、点A、点Bから等距離である。
次に、△ABCの外心を通り△ABCに垂直な直線 l とすると、 l は、 A , B , C から等距離にあるので、平面α上にある。
同様に、△ABDの外心を通り△ABDに垂直な直線を m とすると、 l は、 A , B , D から等距離にあるので、平面α上にある。
△ABCと△ABDは平行ではないので、 l , m は平行ではない。よって l , m は平面α上の一点で交わる。この交点を P とすると、点Pは A , B , C , D から等距離にある。点Pを中心とし、PAを半径とする球を考えると、この球面は各頂点を通る。
解説
内心を求める
四面体にまつわる出題
四面体にまつわる出題は多い。いろいろなパターンに対応できるよう、練習しておきましょう。
- 2つの正四面体の共通部分の体積 ［2013 早稲田大・教育］
- 半径1の球に内接する正四面体の1辺の長さ［2005 北海道大・文理］
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