3次関数と接線の本数［2016 早稲田大・理工］

問題

　f ( x ) = x³ – x とする。xy平面上の点 ( p , q ) から直線 y = f ( x ) へ引いた接線を考える。次の問に答えよ。
(1)　直線 y = m ( x – p ) + q が曲線 y = f ( x ) の接線となるための条件を m , q , p を用いて表わせ。
(2)　点 ( p , q ) から曲線 y = f ( x ) に3本の接線を引くことができるとき、 p , q の条件を求めよ。
(3)　(2)の条件を満たす点 ( p , q ) の範囲を図示せよ。

イズミの解答への道

　3次関数に引ける接線の本数の問題は、頻出問題。受験用の問題集を解いていれば、必ず一度は出会っているだろう。(1)の出題は異例だが、(1)ができなくとも(2)と(3)は必ず解けるようにしたい。

解答

(1)　y = f ( x ) 上の接点を ( t , t³ – t ) とおくと、この接線は、
　　y = ( 3t² – 1 ) ( x – t ) + t³ – t
　　　= ( 3t² – 1 ) x – 2t³
となる。これと y = m ( x – p ) + q を比較して、
　　m = 3t² – 1 , -mp + q =2t³
となるので、t について解けば、
　　 $t^6 = \left( \dfrac{m+1}{3} \right)^3 , t^6 = \left( \dfrac{-mp+q}{2} \right)^2$
となるので、
　　4 ( m + 1 )³ = 27 ( mp – q )²
となる。
　
(2)　y = f ( x ) 上の点 ( t , t³ – t ) を接点とする接線は、
　　y = ( 3t² – 1 ) x – 2t³
であり、これが ( p , q ) を通るので、
　　q = ( 3t² – 1 ) p – 2t³
を満たせば良い。そして接線が3つあるということは、接点が3か所、すなわちこれを t についての方程式と見たときに、異なる3つの解をもてば良い。
　　g ( t ) = 2t³ – 3pt² + p + q
とおくと、
　　g’ ( t ) = 6t² – 6pt
　　　　= 6t ( t – p )
となる。
　
　いま、 y = g ( t ) と y = g ( 0 ) が3つの交点を持てばよく、そのためには、
　　 $p > 0$ かつ $g ( p ) < 0 < g ( 0 )$
　　または　 $p < 0$ かつ $g ( 0 ) < 0 < g ( p )$
であればよく、それは
　　p ≠ 0 かつ $g(0)g(p) < 0$
ということである。これより求める条件は、
　　 $\bm{( p + q ) ( -p^3 + p + q ) < 0}$