n進法で表される等式 ［2016 京都大・文］

イズミの解答への道

　n進法の考え方が分かっていれば非常に簡単な問題。後半では答えが一つしか無いことを証明することも忘れずに。

解答

　2 , 12 , 1331 を10進法に直すと、それぞれ
　　2 = 2
　　12 = n + 2
　　1331 = n³ + 3n² + 3n + 1
となるので、
　　2ⁿ⁺² = n³ + 3n² + 3n + 1 = ( n + 1 )³　…※
となる。

　n = 4 , 5 , 6 のときは※は満たさない。 n = 7 のとき
　　2⁹ = ( 7 + 1 )³
となり※を満たす。よって、 n = 7 は題意を満たす。

　次に、 n ≧ 8 のとき、
　　　……※※
であることを数学的帰納法で示す。
　n = 8 のときは、
　　2¹⁰ = 1024 , ( 8 + 1 )³ = 729
となり題意を満たす。 n = k のとき※※を満たすとすると、 n = k + 1 のとき

となり、いま、
　　2 ( k + 1 )³ – ( k + 2 )²
　　= k³ – 6k – 6
となり、いま、 k を実数として考えて、
　　f ( k ) = k³ – 6k – 6
とおくと、
　　f'( k ) = 3k² – 6
は k ≧ 8 で だから単調増加。であることと合わせると、k ≧ 8 において f ( k ) は常に正、すなわち

である。よって、

が成り立つ。
　以上より、 n ≧ 8 において※※が成り立つことが示された。よって題意を満たす n は n = 7 のみである。

解説

n進法