e が無理数であることの証明［1997 大阪大・理（後）］

　自然数 n に対して、関数 f_n ( x ) = xⁿ e^1-x と、その定積分 $\displaystyle a_n = \int_0^1 f_n (x) dx$ を考える。ただし、 e は自然対数の底である。次の問いに答えよ。
(1)　区間 0 ≦ x ≦ 1 上で 0 ≦ f_n ( x ) ≦ 1 であることを示し、さらに 0 < a_n < 1 が成り立つことを示せ。
(2)　a₁ を求めよ。 n > 1 に対して a_n と a_n-1 の間の漸化式を求めよ。
(3)　自然数 n に対して、等式
　　 $\displaystyle \frac{a_n}{n!} = e- \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right)$
が成り立つことを証明せよ。
(4)　いかなる自然数 n に対しても、 n ! e は整数とならないことを示せ。

［1997 大阪大・理（後）］

イズミの解答への道

　誘導どおりに解いていけば、(2)まで詰まることはないでしょう。(2)の漸化式を解いて一般項を求められればよいのですが、これは一筋縄には行きません。しかし、求める式が与えられているので最悪でも“数学的帰納法”でなんとかしましょう。(3)までできれば(4)はもうすぐそこ。

解答

(1)　f’_n ( x ) = n x^n-1 e^1-x + xⁿ (-e^1-x)
　　　　=e^1-x x^n-1 ( n – x ) ≧ 0
より f_n ( x ) は単調増加であり、 f_n ( 0 ) = 0 , f_n ( 1 ) = 1 であるから、
　　0 ≦ x ≦ 1 で 0 ≦ f_n ( x ) ≦ 1
である。
　また、 $\displaystyle a_n = \int_0^1 f_n (x) dx$ は、区間 0 ≦ x ≦ 1 における y = f_n (x) と x 軸に挟まれた面積であり、

$\int_0^1 0 dx < \int_0^1 f_n (x) dx < \int_0^1 1 dx$

が成り立つので、これより、 $0 < a_n < 1$ も示される。

(2)　部分積分より、

$\begin{align*} a_1 &= \int_0^1 xe^{1-x} dx \\ &=\left[ x (-e^{1-x}) \right]_0^1 - \int_0^1 ( -e^{1-x} ) dx \\ &=\left[ - x e^{1-x} \right]_0^1 + \int_0^1 e^{1-x} dx \\ &= -1 - \left[ e^{1-x} \right]_0^1 \\ &= -1 -(1-e) = \bm{e-2} \end{align*}$

であり、

$\begin{align*} a_n &= \int_0^1 x^n e^{1-x} dx \\ &=\left[ x^n ( -e^{1-x}) \right]_0^1 - \int_0^1 \{ nx^{n-1} \cdot (-e^{1-x}) \} dx \\ &=\bm{-1 + na_{n-1}} \end{align*}$

となる。

(3)　数学的帰納法で示す。
(i)　n = 1 のとき、

$\frac{a_1}{1!} = e- \left( 1 + \frac{1}{1!} \right)$

より、 a₁ = e – 2 であり、これは(2)の結果と一致する。
(ii)　n = k のときに成り立つとする、すなわち、

$\frac{a_k}{k!} = e - \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{k!} \right)$

が成り立つとしたとき、

$\begin{align*} \frac{a_{k+1}}{(k+1)!} &= \frac{-1 + (k+1)a_k}{(k+1)!} \\ &=\frac{a_k}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} \\ &=e - \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{k!} \right) - \frac{1}{(k+1)!} \end{align*}$

より、題意の等式は n = k + 1 のときも成り立つ。
　以上より、すべての自然数 n について第位の等式が成り立つことが示された。

(4)　(3)より、

$a_n = n!e - n! \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right)$

である。ここで、 $0<a_n <1$ より、 a_n は整数ではなく、 $\displaystyle n! \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right)$ は整数であるから、 $n!e$ は整数ではないといえる。

解説

eが無理数であることの証明

　e が有理数であると仮定すると、 $\displaystyle e = \dfrac{q}{p}$ （ p , q は自然数）と表される。いま、

$\begin{align*} n!e &= \{ 1 \cdot 2 \cdots (p-1) p (p+1) \cdots n \cdots \} \times \frac{q}{p} \\ &= ( 1 \cdots (p-1)(p+1) \cdots ) \times q \end{align*}$