チェビシェフの多項式［1996 京都大・文（後）］

大学入試数学演習

2015.04.182016.06.18

問題

(1)　cos 5θ = f ( cos θ ) をみたす多項式 f ( x ) を求めよ。
(2)　 $\displaystyle \cos \frac{\pi}{10}\cos \frac{3\pi}{10} \cos \frac{7\pi}{10} \cos \frac{9\pi}{10} = \frac{5}{16}$ を示せ。

イズミの解答への道

解答

(1)　加法定理より、
　　cos 5θ = cos 3θ cos 2θ – sin 3θ sin 2θ
である。ここで、 cos θ = c , sin θ = s とおくと、
　　cos 2θ = 2c² – 1
　　cos 3θ = -3c + 4c³
　　sin 2θ = 2cs
　　sin 3θ = 3s – 4s³
　　　　　= s { 3 – 4 ( 1 – c² ) }
　　　　　= s ( 4c² – 1 )
となるから、
　　cos 5θ = ( 4c³ – 3c ) ( 2c² – 1 ) – s ( 4c² – 1 ) ・ 2cs
　　　　　　= 16c⁵ – 20c³ + 5c
となることより、求める f ( x ) は、
　　f ( x ) = 16x⁵ – 20x³ + 5x

(2)　0 ≦ θ ≦ π の範囲で、
　　cos 5θ = 0　　……?
を満たすのは、

$\theta = \frac{\pi}{10} , \frac{3\pi}{10} ,\frac{5\pi}{10},\frac{7\pi}{10},\frac{9\pi}{10}$

である。これらは、すべて異なる値であるから、これらは?の解である。よって、

$\begin{align*} &16x^5 - 20x^3 + 5x \\ &= \left( x - \cos \frac{\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{3\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{5\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{7\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{9\pi}{10} \right) \end{align*}$

と因数分解でき、このうち、 $\displaystyle \cos \frac{5\pi}{10} = 0$ であることから、両辺の x を約分して、

$\begin{align*} &16x^4 - 20x^2 + 5 \\ &= \left( x - \cos \frac{\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{3\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{7\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{9\pi}{10} \right) \end{align*}$

となる。ここで解と係数の関係より、定数項を比較して、

$\cos \frac{\pi}{10}\cos \frac{3\pi}{10} \cos \frac{7\pi}{10} \cos \frac{9\pi}{10} = \bm{\frac{5}{16}}$

となることが示された。

解説

チェビシェフの多項式

類題1

　まずは、上の問題とほとんど同じパターンで解くことができる問題です。

テスト

【解答】