数列の和に関する性質［2006 東京大・理（後）］

数列の和の公式

$\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n (n+1) , \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) , \quad \sum_{k=1}^n k^3 =\left\{ \frac{1}{2} n (n+1) \right\}^2$

などについて、次のような一般的な考察をしてみよう。 p , n を自然数とする。

(1)　p + 1 次多項式 S_p ( x ) があって、数列の和 $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^p$ が S_p ( x ) と表されることを示せ。

(2)　q を自然数とする。(1)の多項式 S₁ ( x ) , S₃ ( x ) , … , S_2q-1 ( x ) に対して、

$\sum_{j=1}^q a_j S_{2j-1}(x) = x^q (x+1)^q$

が恒等式となるような定数 a₁ , … , a_q を q を用いて表せ。

(3)　q を 2 以上の自然数とする。(1)の多項式 S₂ ( x ) , S₄ ( x ) , … , S_2q-2 ( x ) に対して、

$\sum_{j=1}^{q-1} b_j S_{2j}(x) = x^{q-1} ( x+1)^{q-1} (cx+q)$

が恒等式となるような定数 c と b₁ , … , b_q-1 を q を用いて表せ。

(4)　p を 3 以上の奇数とする。このとき、

$\frac{d}{dx} S_p(x) = p S_{p-1}(x)$

を表せ。

［2006東京大・理（後）］

数列の和に関する性質［2006 東京大・理（後）］

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