tan1°は有理数か［2006 京都大・共通（後）］

整数・証明・計算問題

2015.07.052016.06.18

問題

　tan 1°は有理数か。

　今年一番の短い問題？　おそらく無理数なのですが、それを示すにはどうすればよいか、悩む問題です。

　背理法で証明する。tan 1°が有理数であると仮定すると、

$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theat}{1 - \tan^2 \theta}$

を繰り返し用いて、tan 2°、tan 4°、tan 8°、tan 16°、tan 32°、tan 64°は有理数である。

これより、

$\tan 60^{\circ} = \tan (64^{\circ} - 4^{\circ}) = \frac{\tan 64^{\circ} - \tan 4^{\circ}}{1 + \tan 64^{\circ} \tan 4^{\circ}}$

も有理数ということになるが、 $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ は無理数であるから矛盾。

よって背理法により、 tan 1°は無理数であることが示された。