循環列が存在する非循環数列 ［京都大・理（特色入試サンプル）］

問題

　無限数列 a₁, a₂, … に対する2つの条件(P)と(AP)を以下のように定める。
(P) 次を満たす自然数 N が存在する：
　　すべての自然数 n に対して a_n+N = a_n が成り立つ。
(AP) どのような自然数 T が与えられてもそれに対して次をみたす自然数 C と無限数列 N₁, N₂, …が取れる：
　　すべての自然数 j = 1 , 2 , … と n = 1 , … , T に対して、
　　a_n+Nj = a_n、かつ、 N_j < N_j+1 < N_j + C が成り立つ。

　このとき、(AP)を満たすが(P)は満たさない無限数列が存在することを示せ。

イズミの解答への道

　とにかく、条件の読み解くことが難しい。何度読みなおしても、「ん？　どういう意味だ？」となりがちです。
　京大の説明にも、「条件(P)と条件(AP)の意味することがどれだけ理解できるか、さらに、そうした理解に基づいて、(AP)を満たし、かつ(P)を満たさない数列を構成する能力があるかを見る問題である。」と書かれている通り、難しいのは2箇所。理解をすることと、そのような数列に目星をつけられるか、ということである。特に後者はひらめきも必要になるので、かなりの難問だといえるだろう。

解答

解説

その他の解は？