楕円の準円［2002 東工大］

問題

　楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{17} + \frac{y^2}{8} = 1$ の外部の点 P ( a , b ) からからひいた2本の接線が直交するような点 P の軌跡を求めよ。

イズミの解答への道

　楕円の接線の式を
　　y = m ( x – a ) + b　　……?
とおいて、これが楕円と接するように m の条件を求める。ここで m の値は2つ出てくるはずだから、これらを m₁ , m₂ とすれば、
　　m₁・m₂ = -1
となることが2本の接線が直交する条件。(a)式ではy軸に平行な直線は表せないので、先に場合分けしておく、というところまで頭を回してから解答を書き出します。
　途中の計算で m の4次になりそうなところが出てくるので、投げ出したくなってしまいますが、このパターンの問題ではうまく消えることが分かります。一度やっておけば、次に見たときに「ちゃんと消えるから大丈夫」という安心感を得られます。

解答

(i)　 $a \neq \pm \sqrt{17}$ のとき
　点 ( a , b ) を通る接線を
　　y = m ( x – a ) + b　　……?
とすると、これと楕円
　　8x² + 17y² = 136　　……?
が接するためには、?式に?式を代入した x に関する2次方程式が重解をもてばよい。
　　8x² + 17 { m ( x – a ) + b }² = 136
　　( 17m + 8 ) x² + 34m ( b – ma ) x + 17 { ( b – ma )² – 8 } = 0
の判別式 D = 0 を解いて、
　　D/4 = 17²m² ( b – ma )² – 17 ( 17m² + 8 ) { ( b – ma )² – 8 } = 0
　　　　　 17m² ( b – ma )² – ( 17m² + 8 ) { ( b – ma )² – 8 } = 0
ここで、 ( b – ma )² = t とおけば、
　　　　　　17m² t – ( 17m² + 8 ) ( t – 8 ) = 0
　　　　　　17・8m² – 8 ( t – 8 ) = 0
すなわち、
　　　　17・m² – ( b – ma )² – 8 = 0
　　　　( 17 – a² ) m² + 2ab m + 8 – b² = 0
である。これの解を m₁ , m₂ とすると、
　　 m₁・m₂ = -1
を満たせばよく、解と係数の関係より、
　　 $\displaystyle \frac{8-b^2}{17-a^2} = -1$
すなわち
　　a² + b² = 25　　……?

(ii)　 $a = \pm \sqrt{17}$ のとき
　 $b = \pm 2\sqrt{2}$ （複合任意）であり、これは?を満たす。

　以上より、点Pの軌跡は、円 x² + y² = 25 となる。

解説

楕円の準円

　楕円、双曲線について、直交する2本の接線の交点の軌跡は円となることが示される。この軌跡が描く円を準円という。
　楕円の場合はいま示したとおりで、一般化した楕円

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1$

に対しても同様の方法で示すことができ、その準円は
　　x² + y² = a² + b²
となる。

双曲線の準円

　双曲線の場合は、次の例題で示すが、一般に a > b > 0

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1$

の準円は、
　　x² + y² = a² – b²
となる。ただし、このうち漸近線上の4点は除かれる。

双曲線 C : $\displaystyle x^2 - \frac{y^2}{4} = -1$ について次の問いに答えよ。
(1)　Cの漸近線の方程式を記せ。
(2)　m を任意の実数として、直線 y = mx が曲線Cに接していないことを示せ。
(3)　点A $( \sqrt{3} , 0 )$ を通るCの接線の方程式をすべて求めよ。
(4)　C上にない点P ( p , q ) を通るCの接線がちょうど2本あって、2本の接線が直交するとき、 p , q がみたすべき条件を求めよ。

［2009 同志社大・2/4理系］

【解答】
(1)　定義より y = ±2x
(2)　y = mx をCの式に代入して整理すると、
　　　( m² – 4 ) x² = 4
となるが、この方程式の解は重解にはなりえない。よって直線 y = mx は曲線Cに接しない。
(3)　C上の点 ( s , t) における接線は、
　　　4sx – ty = -4
これが $(\sqrt{3},0)$ を通るから、
　　 $\sqrt{3}s = -1$ 　　……?
を満たす。一方、 s , t は双曲線C上にあるから、
　　4s² – t² = -4　　……?
であるから、?と?を連立して、

$s = -\frac{1}{\sqrt{3}} , \quad t=\pm \frac{4}{\sqrt{3}}$

となるので、求める接線の方程式は、

$\bm{ x \pm y = \sqrt{3}}$

である。
(4)　y軸に垂直なCの接線は存在しないので、Pを通るCの接線は、
　　　y = k ( x – p ) + q
とおける。この直線がCと接することから、Cの式に代入したときに得られる x の方程式が重解をもてばよい。
　　　4x² – { k ( x – p ) + q }² = -4
　　　4x² – { k² ( x – p )² + 2kq ( x – p ) + q² } = -4
　　　4x² – k² ( x – p )² – 2kq ( x – p ) – q² + 4 = 0
　　　( 4 – k² ) x² + 2k ( kp – q ) x – p²k² + 2pqk – q² + 4 = 0
の判別式を D とすると、
　　　D/4 = k² ( kp – q )² + ( 4 – k² ) ( p²k² – 2pqk + q² – 4 ) = 0
　　　　　　　k² ( kp – q )² + ( 4 – k² ) { ( kp – q )² – 4 } = 0
　　　　　　　4k² + 4 { ( kp – q )² – 4 } = 0
　　　　　　　( p² + 1 ) k² – 2pqk + q² – 4 = 0
となる。この k についての方程式の2つの解を k₁ , k₂ とすると、接線が直交するという条件より、
　　k₁ ・ k₂ = -1
を満たす必要があり、これは解と係数の関係より、

$\frac{q^2-4}{p^2+1} = -1$

すなわち、
　　p² + q² = 3　　……?
となる。

※「満たすべき条件を求めよ」といわれたら、ここまでを解としてよい。一般に「軌跡を求めよ」と問われた場合には、(c)上の点すべてを取り得るかを調べる必要がある。そこで、軌跡を求めよと問われた場合の続きを示しておく。

　ここで、（(2)からも分かることだが、）(1)で求めた漸近線は明らかにCの接線とはならないので、?式のうち、 y = ±2x 上の点を省かなければならない。すなわち、求める軌跡は、
　　　円 p² + q² = 3　ただし、 q = ±2p を満たす点を除く
となる。

放物線の場合

　x² = 4py に直交する2本の接線を引くと、この交点の軌跡は、直線 y = -p となり、これは教科書にある通り、放物線の準線である。