背理法｜「そうでないこと」を証明する

背理法とは

　背理法という証明方法があります。簡単に言うと、「あることを証明するために、そうではないとしたら、と仮定して論証を進めるとどこかで矛盾が生じることを利用し、矛盾が生じると言うことは仮定が間違っていた、よってもともと証明したいことが証明される」という証明方法です。

　と文章で書いてもわけがわかりません。次のような例はどうでしょうか。
　あなたが探偵だったとします。ある離れ小島に集められた人間が次々と殺される殺人事件が起き、あなたは犯人を探しています。さてあなたは、どのように犯人を見つけるのが良いでしょうか。
　たとえばAさんに目をつけます。Aさんが犯人ではないか、と疑うわけです。そして四六時中Aさんを監視します。しかしBさんが殺されてしまったとしましょう。そうすると、Aさんにはアリバイがあるから犯人ではないことが証明されます。
　この場合、Aが犯人ではないかと仮定したところ、Aさんが犯人ではありえない自体が起こったため、結果としてAさんが犯人ではないことが証明されます。このような感じです。

　実際の推理小説は、もっと複雑に出来ているので、もしAさんをずっと監視していたとしても、Aさんが犯人の可能性もありますが、数学はもっと単純なので、矛盾があれば仮定がまちがっていたと結論付けてよいのです。

背理法の例

　背理法を使った証明の例は、とにかく $\sqrt{3}$ が無理数であることの証明に限ります。数多く大学入試でも出題されていますが、ここでは $\sqrt{3}$ が無理数であることを、背理法によって証明してみましょう。（「無理数って何？」という方は、こちらのページを先に学習してください。）

例題
　 $\sqrt{3}$ が無理数であることを証明せよ。

【解答】
　 $\sqrt{3}$ が有理数だと仮定する。つまり $\sqrt{3} = \frac{q}{p}$ （ p , q は互いに素な自然数）と置ける。
　仮定より、

$\sqrt{3}p = q$

より、
　　3p² = q²　……(a)
であるから、
　　q² は 3 の倍数
である。後で証明するが、
　　q² が 3 の倍数　ならば、　q は 3 の倍数　…※
であるから、 q = 3k （ k は自然数）とおける。すると、(a)式より、
　　3p² = 9k²
　　p² = 3k²
より、
　　p² は 3 の倍数
であり、
　　p² が 3 の倍数　ならば、　p は 3 の倍数
であるから、 p = 3l （ l は自然数）とおける。
　このとき、 p = 3l , q = 3k より p と q が互いに素であることに反する。
　以上より、背理法により、 $\sqrt{3}$ が無理数であることが証明された。

（※の証明）
　対偶を証明する。 q が3の倍数でないとき、 q = 3a ± 1 とおけ、このとき、 q² は、
　　q² = 9a² ± 6a + 1
となり q² も3の倍数ではない。よって※は示された。■

　どうでしょうか、見事に「互いに素であること」を利用して矛盾を導きました。
　最後の落とし方が分かっているからこそ、冒頭で「 p , q は互いに素な自然数」のようにフリを付けることができます。冒頭では推理小説を例に出しましたが、このフリとオチの関係は漫才のようなところもあります。

　背理法の照明のパターンはかなり似たものが多いので、今回の例題の証明はぜひ丸暗記してもらいたいです。もちろん一文一句覚えろということではありません。初めに「有理数であると仮定する」こと、そして「pとqが互いに素である」とフリを利かすこと。ここを押さえて、流れを覚えてしまうまで何度も練習してみてください。

　最後に、同じような解き方で解くことができる入試問題を紹介します。