3月までやっていた「デート」の第9話で、
「『どのような数字も各桁の2乗の和を足す』と、必ず1か89になる」という話がありました。
以下ではこれを証明しようと思います。
証明と言っても、この記事ではなんとなく理解できればいいことを優先して、
数学的な精密さを犠牲にします。
また、便宜上『 』内の作業を「操作」と呼ぶことにします。
＜前提＞
まず、89というのは、この先も
82 + 92 = 145
のように計算を続けることができますが、このあとこれを繰り返すと、
89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89
のように、再び89が出てくるサイクルに入ります。なので、89を最終形の一つといっているのでしょう。ここに出てくる他の7種類の数字も89系列の最終形です。
もう一つは、1です。これは明らかに次の数字を得ることができませんので、名実ともに最終形です。
＜方針＞
ここでの証明方法の方針を先に示します。
すべての数字を、89以下の数（グループA）と、90以上の数（グループB）に分けます。
このとき、
①90以上の数字（グループB）はすべて89以下の数字（グループA）になることを示し、
②そのあと、グループAの数字すべてが、89か1になることを示す
という手順で示します。
＜STEP1＞
では、グループBの数がすべてグループAに変わることを順に証明しましょう。
＜STEP1-1＞
まずは、「4桁以上の数字に対してこの操作を何度か行えば、必ず3桁以下の数字になる」ことを示しましょう。
n桁の数のうち、操作後に最も大きくなる数字は、9…9と9が並ぶ数字のときです。
9がn個並ぶn桁の数に対して操作を行うと、その結果は81nとなるので、
そのほかのどのようなn桁の数に操作をしても、81n以下になることが分かります。
これにより、4桁の数字に対しては3桁以下に、5桁以上の数に対しても確実に桁数が下がるので、この操作を行うことで、最終的には3桁以下になることが分かる。
これにより、1000以上の数について考える必要はなくなります。
＜STEP1-2＞
次に「243以上の3桁の数は、この操作により必ず243以下になる」ことを示しましょう。
これは＜STEP1-1＞と同様に考えれば簡単で、
3桁の整数で、操作後の数が最も大きくなるのは999だが、
999であっても操作後の数字はたかだか243であるため、
いかなる3桁の数字であっても、操作後の数字は243以下である。
これにより、244以上の数字も考える必要はないことが分かる。
＜STEP1-3＞
次に、「200～243の数字にこの操作をすると、2桁の数字になる」ことを確認します。
200～243の間にある、操作後に最も大きくなる数は239であるが、この数に操作をしても、
239→4+9+81=94
と、たかだか94である。よって、200～243のどの数字にこの操作をしても、2桁の数にしかなりえないことが分かる。
（2桁の数はあとで考えるので、これらの数字については調査を終えます。）
＜STEP1-4＞
残りは90から199の間の数字ですが、先に3桁の数を片付けましょう。
100から199の数のうち、ほとんどは操作後2桁になるので、
「100から199の数のうち、1回の操作後も3桁になる数が、何度か操作すれば2桁になる」ことを示しましょう。
ここは、一つ一つ確認します。すると、
199, 198, 197, 196, 195, 194,
188, 187, 186
の9つの数が、操作後も3桁となることが分かります。
（これ以外の数字は、操作をすると2桁になりますので、これらは後で確認する。）
さて、これらの数字については、最後まで計算する必要はありません。
確かにこれらの数字は操作後に3桁になりますが、
ここに示した9個以外の3桁以外の数字になるのであれば、
その次の操作で2桁になるので、考える必要はありません。
そして、すべての数字がここに示した9個以外の3桁の整数になることは、以下のように示すことができます。
この中で最も大きい数字になるのは、
199→163であるが、これは、上に示したどの数字よりも小さい。
よって、すべてを計算するまでもなく、上の3桁の数字はいずれも163以下の数字に変わる。
163以下の数字は、次に行われる操作で2桁になる。
＜STEP1-5＞
ここまで、「2桁の数になるから、あとで考える」といったところがありました。
そのうち、2桁の数になった時に89以下になっているとすれば、それはグループBになるということですので、
もう＜STEP1＞での証明は終了です。
最後に90から99の間の数について、
これらが何回かの操作で89以下になる、すなわちグループBになるということが証明できれば、
＜STEP1＞の証明は終了です。
これは、一つずつ示します。手を動かします。
90→81
91→82
92→85
93→90（→上の90を参照）
94→97（→下の97を参照）
95→106→37
96→117→51
97→130→10
98→145→42
99→162→41
以上より、＜STEP1＞の目標で当った
「90以上の数はすべて一度は89以下になる」ことを示すことができました。
とても長くなったので、2回に分けます。
つづきはこちら。